Both “okureru (遅れる)” and wago (和語) come from Japanese origin and “chikoku suru (遅刻する）is kango（漢語）a Chinese loanword which means “to be late”.”okureru” is widely used.
However you can use “chikoku suru” only when you are late for a conference, a meeting, and school, etc.
So you can say “Watashi ha gakko ni chikoku shita (私は学校に遅刻した, I was late for school）、” and “Watashi ha kaigi ni chikoku shita (私は会議に遅刻した, I was late for the conference”.
However, we do not say “Watashi ha okirunoga chikoku shita (私は起きるのが遅刻した, I was late to get up. ” and “Watashi ha denwa wo kakeru noni chikoku shita (私は電話をかけるのに遅刻した, I was late to call. ”

“okureru” and “chikoku suru” | 外国語を学習するならLang-8

Conjugation table for Japanese verb okureru – to be late, lag behind 遅れる

日本語 / にほんご / Japanese
(1)私は仕事に遅れる/ 遅れます。
(2)トムが遅刻している / 遅刻しています。
(3)エリーはほとんど遅刻しない / 遅刻しません。
(4)彼は会社に遅刻した /遅刻しました。
(5)電車が遅れているようだ / 遅れているようです。
(6)私は仕事に30分遅れるだろう/ 遅れるでしょう。

英語 / えいご / English
(1)I’m late for work.
(2)Tom is late.
(3)Ellie is almost never late.
(4)He was late for work.
(5)The train seems to be late.
(6)I’ll be 30 minutes late for work.

ひらがな / Hiragana
(1)わたしはしごとにおくれる/ おくれます
(2)とむがちこくしている / ちこくしています。
(3)えりーはほとんどちこくしない/ ちこくしません。
(4)かれはかいしゃにちこくした/ ちこくしました
(5)でんしゃがおくれているようだ / おくれているようです
(6)わたしはでんしゃにさんじゅっぷんおくれるだろう / おくれるでしょう

ローマ字 / Roman letters
(1) Watashi wa shigoto ni okureru/ okuremasu.
(2) Tomu ga chikoku shite iru/ chikoku shite imasu.
(3) Erī wa hotondo chikoku shinai/ chikoku shimasen.
(4) Kare wa kaisha ni chikoku shita/ chikoku shimashita.
(5) Densha ga okurete iru yōda/ okurete iru yōdesu.
(6) Watashi wa shigoto ni 30-bu okurerudarou/ okurerudeshou.